提問人的問題已涉及具體個案，以下僅略說明租約、定金等租屋相關的法律知識。
房仲是房東的代理人
如果房東委託房仲業者協助處理房屋出租，原則上房仲就是房東的代理人，如同房東的分身，所以房客與房仲討論租約的內容、也口頭同意租約，效力會直接發生在房東和房客之間[1]，即使房東本人從頭到尾都沒出面也不影響。但提醒房客在簽約前記得確認租約上的出租人是房東，以及要確認房仲的委託書、證件等[2]。
定金能不能退，要看不能租屋的原因
即使沒有「簽約」——還沒簽書面的契約，只要雙方都同意房屋租賃這件事，契約就會成立了[3]，也就是提問人理解的，口頭承諾租約就已經成立了。
既然租約已經成立，雙方就要依約履行：房東要提供房屋、房客要付租金。如果房客突然反悔不想租了，例如房客後來發現別間房屋更理想，不想租這間，這是房客的問題，房東沒有錯，這時候房東就可以依法主張要沒收定金全部。反過來說，如果是房東的錯，例如房東把房子租給別人無法租給付定金的房客，此時房客不但可以要求房東退定金，還可以要房東多賠一倍[4]。
既然租約已經成立，雙方就要依約履行：房東要提供房屋、房客要付租金。如果房客突然反悔不想租了，例如房客後來發現別間房屋更理想，不想租這間，這是房客的問題，房東沒有錯，這時候房東就可以依法主張要沒收定金全部。反過來說，如果是房東的錯，例如房東把房子租給別人無法租給付定金的房客，此時房客不但可以要求房東退定金，還可以要房東多賠一倍[4]。
附帶一提，雖然房仲與房客的對話是用「訂金」而不是民法條文的「定金」，收據上又混用了「定金」，但探究雙方付定的目的、用途，如果是為了促使雙方來簽約，沒簽約的房客定金就會被沒收，或食言的房東定金要加倍賠給房客；那雙方當初的意思，應該就跟法律上「定金」的意思相同，不需要（法院也不會）糾結於用字[5]。
房屋的瑕疵已經危害房客的安全或健康時，才可以終止租約
民法有規定房東要將把符合約定使用的房屋交給房客、並維持房屋的可使用性[6]；但當房屋有瑕疵，而且瑕疵已經大到危害承租人和他的同居人的安全或健康時，承租人才可以終止契約[7]，例如租到了輻射屋、海砂屋等。至於20幾年屋齡的房子在市場上應該不算罕見，是否算是瑕疵？即使算瑕疵，是否已經危害到房客的安全或健康？房客能否依照這個理由主張終止租約，恐怕有疑義。
以上僅簡略說明相關法律知識，具體個案的解析及進一步的法律意見，建議提問人備妥相關資料，諮詢律師等專業法律人士。
延伸閱讀：
法律百科（2021），《租屋族必備 租房須知錦囊包｜簽約篇》。
註腳
- 民法第103條：「
I 代理人於代理權限內，以本人名義所為之意思表示，直接對本人發生效力。
II 前項規定，於應向本人為意思表示，而向其代理人為之者，準用之。」
關於代理的說明，可以進一步參閱：賴郁樺（2020），《代理的特徵與效果是什麼？什麼是自己代理？》。 - 王瀚誼（2021），《租屋前要注意的事情（二）— 確認出租人是房屋所有權人、有轉租權人》。
- 民法第153條第1項：「當事人互相表示意思一致者，無論其為明示或默示，契約即為成立。」
租賃契約是一種「諾成契約」，關於諾成契約的說明，可以進一步參閱：楊舒婷（2021），《契約就是白紙黑字嗎？法律上為什麼要區分「要物契約」、「諾成契約」、「要式契約」與「不要式契約」？》。 - 民法第249條第2、3款：「定金，除當事人另有訂定外，適用左列之規定：……
二、契約因可歸責於付定金當事人之事由，致不能履行時，定金不得請求返還。
三、契約因可歸責於受定金當事人之事由，致不能履行時，該當事人應加倍返還其所受之定金。」 - 民法第98條：「解釋意思表示，應探求當事人之真意，不得拘泥於所用之辭句。」
- 民法第423條：「出租人應以合於所約定使用收益之租賃物，交付承租人，並應於租賃關係存續中，保持其合於約定使用、收益之狀態。」
- 民法第424條：「租賃物為房屋或其他供居住之處所者，如有瑕疵，危及承租人或其同居人之安全或健康時，承租人雖於訂約時已知其瑕疵，或已拋棄其終止契約之權利，仍得終止契約。」